Question

4．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線經過圓（x-2）²+（y+1）²=5的圓心，焦點到漸近線的距離為2，則雙曲線C的標準方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 求出圓的圓心坐標，雙曲線的漸近線方程，利用焦點到漸近線的距離，列出關系式，求解雙曲線的幾何量，得到雙曲線方程．

解答 解：圓（x-2）²+（y+1）²=5的圓心（2，-1），雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線經過圓（x-2）²+（y+1）²=5的圓心，可得：a=2b；焦點到漸近線的距離為2，可得$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=2$，即b=2，則a=4，
雙曲線C的標準方程是：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質與圓的簡單性質的應用，考查計算能力．