Question

4．已知函數f（x）=-cos²x-2asinx，（x∈[0，π]，a∈R），求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 函數f（x）=sin²x-2asinx-1，（x∈[0，π]，a∈R），設t=sinx，則y=t²-2at-1，t∈[0，1]，轉化為二次函數討論求解．

解答 解：∵函數f（x）=-cos²x-2asinx，（x∈[0，π]，a∈R），
∴函數f（x）=sin²x-2asinx-1，（x∈[0，π]，a∈R），
∴設t=sinx，則y=t²-2at-1，t∈[0，1]，
∵對稱軸t=a，
∴當a∈[0，1]時，f（x）_min=-1-a²，
f（0）=-1，f（1）=-2a，
當0≤a≤$\frac{1}{2}$時，f（x）_max=-2a，
當$\frac{1}{2}$＜a≤1時，f（x）_max=-1，
當a∈（-∞，0）時，f（x）_min=-1，f（x），f（x）_max=-2a，
當a∈（1，+∞）時，f（x）_min=-2a，f（x）_max=-1，
綜上所述：當a＜0時，f（x）的值域為[-1，-2a]，
當0≤a≤$\frac{1}{2}$，f（x）的值域為[-1-a²，-2a]，
當$\frac{1}{2}$＜a≤1，f（x）的值域為[-1-a²，-1]，
當a＞1時，f（x）的值域為[-2a，-1]

點評 本題考查了換元法轉化求解，有關的三角函數的最值問題，注意新元的取值范圍．