Question

12．已知實數x、y滿足條件：$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x+y-4≥0\\ y≤2\end{array}\right.$，則$\frac{2x^2+y^2}{xy}$的最大值與最小值的和為（　　）

• A． $\frac{20}{3}$
• B． $\frac{42}{5}$+2$\sqrt{2}$
• C． $\frac{136}{15}$
• D． $\frac{27}{5}$+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 令$\frac{y}{x}$=k，由線性規劃求得：$\frac{2}{5}$≤k≤2，將$\frac{2x^2+y^2}{xy}$變形為$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{2}{k}$+k，則易求$\frac{2x^2+y^2}{xy}$的最大值與最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x+y-4≥0\\ y≤2\end{array}\right.$，作出可行域如圖，

令$\frac{y}{x}$=k，由線性規劃得到：$\frac{2}{5}$≤k≤2，
令z=$\frac{2x^2+y^2}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{2}{k}$+k．
當k=$\frac{2}{5}$時，z_min=$\frac{27}{5}$，z_max=2$\sqrt{2}$，
則$\frac{2x^2+y^2}{xy}$的最大值與最小值的和為：$\frac{27}{5}$+2$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，確定平面區域的位置，利用數形結合是解決本題的關鍵．