Question

2．已知⊙O₁：（x-1）²+y²=4，⊙O₂：x²+（y-$\sqrt{3}$）²=9．
（1）求兩圓公共弦所在的直線方程；
（2）求兩圓的公共弦長．

Answer 1

分析 （1）兩圓的一般式方程相減，再化簡整理得兩圓公共弦所在直線的方程；
（2）求出第一個圓的圓心到直線2x-2$\sqrt{3}$y-3=0的距離，再結合垂直于直徑的弦的性質，即可得到兩圓的公共弦長．

解答 解：（1）將兩圓的方程相減，化簡得：2x-2$\sqrt{3}$y-3=0，
∴公共弦所在直線的方程是2x-2$\sqrt{3}$y-3=0；
（2）圓O₁的圓心（1，0）到直線2x-2$\sqrt{3}$y-3=0的距離d=$\frac{1}{\sqrt{4+12}}$=$\frac{1}{4}$，
由此可得，公共弦的長l=2$\sqrt{4-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{15}$．

點評 本題給出兩個定圓，求它們的公共弦所在直線方程并求弦長，著重考查了圓的標準方程與一般方程、圓與圓的位置關系和直線與圓的位置關系等知識，屬于基礎題．