Question

1．已知數列{a_n}，{c_n}滿足條件：${a_1}=1，{a_{n+1}}=2{a_n}+1，{c_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$．
（1）求證數列{a_n+1}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{c_n}的前n項和T_n，并求使得${a_m}＞\frac{1}{T_n}$對任意n∈N₊都成立的正整數m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知數列遞推式可得數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列，求出等比數列的通項公式可得數列{a_n}的通項公式；
（2）由裂項相消法求出T_n，進一步求得$\frac{1}{{T}_{n}}$，求出$\frac{1}{{T}_{n}}$的最大值，結合a_m＞$\frac{1}{{T}_{n}}$對任意n∈N^*恒成立求得正整數m的最小值．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，a₁+1=2≠0，∴數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列．
∴a_n+1=2×2^n-1，則a_n=2ⁿ-1；
（2）解：∵c_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴T_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{n}{3（2n+3）}=\frac{n}{6n+9}$．
∴$\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{6n+9}{n}=6+\frac{9}{n}$，n∈N^*，則6+$\frac{9}{n}$≤15．
∴當n=1時，$\frac{1}{{T}_{n}}$取得最大值15．
要使得a_m＞$\frac{1}{{T}_{n}}$對任意n∈N^*恒成立，結合（1）的結果，只需2^m-1＞15，
由此得m＞4．
∴正整數m的最小值是5．

點評 本題考查數列遞推式，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，是中檔題．