Question

12．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F（-c，0），M、N在雙曲線C上，O是坐標原點，若四邊形OFMN為平行四邊形，且四邊形OFMN的面積為$\sqrt{2}$cb，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設M（x₀，y₀），y₀＞0，由四邊形OFMN為平行四邊形，四邊形OFMN的面積為$\sqrt{2}$cb，由x₀=-$\frac{c}{2}$，丨y₀丨=$\sqrt{2}$b，代入雙曲線方程，由離心率公式，即可求得雙曲線C的離心率．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦點在x軸上，
設M（x₀，y₀），y₀＞0，由四邊形OFMN為平行四邊形，
∴x₀=-$\frac{c}{2}$，
四邊形OFMN的面積為$\sqrt{2}$cb，
∴丨y₀丨c=$\sqrt{2}$cb，即丨y₀丨=$\sqrt{2}$b，
∴M（-$\frac{c}{2}$，$\sqrt{2}$b），
代入雙曲線可得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，整理得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-2=1$，
由e=$\frac{c}{a}$，
∴e²=12，由e＞1，解得：e=2$\sqrt{3}$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的離心率公式，考查計算能力，屬于中檔題．