Question

5．已知以T=4為周期的函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈（-1，1]}\\{m（1-|x-2|），x∈（1，3]}\end{array}\right.$，其中m＞0，若函數g（x）=3f（x）-x恰有5個不同零點，則實數m的取值范圍為（　　）

• A． （2，$\frac{8}{3}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，2）
• C． （2，$\frac{10}{3}$）
• D． （$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）

Answer 1

分析 根據對函數的解析式進行變形后發現當x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]時，f（x）的圖象為半徑為1的半圓．當x∈（1，3]，[7，7]，[9，11]時，f（x）的圖象是等腰三角形，根據圖象推斷要使方程恰有5個實數解，則需直線y=$\frac{x}{3}$與前兩個等腰三角形有兩個交點，而與第三個等腰三角形不相交，由此可求得m的范圍．

解答 解：∵當x∈（-1，1]時，將函數化為方程x²+y²=1（y≥0），
∴實質上為一個半徑為1半圓，
其圖象如圖所示，
同時在坐標系中作出
當x∈（1，3]時，
y=m（1-|x-2|），
0≤1-|x-2|）＜1的圖象，
其圖象為等腰三角形，
再根據周期性作出函數其它部分的圖象，
當x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]時，f（x）的圖象為半徑為1的半圓．
當x∈（1，3]，[7，7]，[9，11]時，f（x）的圖象是等腰三角形，
∵函數g（x）=3f（x）-x恰有5個不同零點，
∴需直線y=$\frac{x}{3}$與前兩個等腰三角形有兩個交點，而與第三個等腰三角形不相交
∴由圖象知直線y=$\frac{x}{3}$與第一個等腰三角形有兩個交點，與第二個等腰三角形沒有交點，
∴2＜m＜$\frac{10}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，及函數的周期性，其中根據方程根與函數零點的關系，結合函數解析式進行分析是解答本題的關鍵．