Question

20．如圖正方形ABCD中，O為中心，PO⊥面ABCD，E是PC中點，求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）面PAC⊥面BDE．
（3）若PA=PB=PC=PD=AB，求二面角P-AB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC中點F，連結EF、OE、OF，推導出平面PAD∥平面EFO，由此能證明PA∥平面BDE．
（2）推導出AC⊥BD，PO⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明面PAC⊥面BDE．
（3）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-AB-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵正方形ABCD中，O為中心，∴O是AC中點，
取PC中點F，連結EF、OE、OF，
∵E是PC中點，∴OE∥PD，OF∥PA，
∵PD∩PA=P，OE∩OF=O，PD，PA?平面PAD，OE，
OF?平面EFO，
∴平面PAD∥平面EFO，
∵PA?平面PAD，∴PA∥平面BDE．
（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD，
∵PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面BDE，
∴面PAC⊥面BDE．
解：（3）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
設PA=PB=PC=PD=AB=2，
則P（0，0，$\sqrt{2}$），A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$），
設平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角P-AB-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角P-AB-D的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．