Question

5．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{5}$，BC=3，M，N分別為B₁C₁，AA₁的中點．
（1）求證：平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）判斷MN與 平面ABC₁的位置關系，并求四面體ABC₁M的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥AC，AA₁⊥AB，從而AB⊥平面AA₁C₁C，由此能證明平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）取BB₁中點D，推導出四邊形ABB₁A₁為平行四邊形，從而DN∥AB，進而平面MND∥平面ABC₁．推導出N到平面ABC₁的距離即為M到平面ABC₁的距離．再由${V}_{四面體AB{C}_{1}M}={V}_{M-AB{C}_{1}}$，能求出四面體ABC₁M的體積．

解答 證明：（1）∵AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
又AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥AB，
又AC∩AA₁=A，∴AB⊥平面AA₁C₁C，
∵AB?平面ABC₁，∴平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．
解：（2）取BB₁中點D，∵M為B₁C₁中點，∴MD∥BC₁又N為AA₁中點，
四邊形ABB₁A₁為平行四邊形，∴DN∥AB，
又MD∩DN=D，∴平面MND∥平面ABC₁．
∵MN?平面 MND，∴MN∥平面ABC₁，
∴N到平面ABC₁的距離即為M到平面ABC₁的距離．
過N作NH⊥AC₁于H，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，∴NH⊥平面ABC₁，
∴$NH=\frac{1}{2}×\frac{{A{A_1}×{A_1}{C_1}}}{{A{C_1}}}=\frac{1}{2}×\frac{{2×\sqrt{5}}}{3}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
∴M到平面ABC₁的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴四面體ABC₁M的體積${V_{四面體AB{C_1}M}}={V_{M-AB{C_1}}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×\frac{{\sqrt{5}}}{3}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．