Question

16．已知數列{a_n}的前項n和S_n=n²+2n，則數列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前項n和為（　　）

• A． $\frac{n}{3（2n+3）}$
• B． $\frac{2n}{3（2n+3）}$
• C． $\frac{n-1}{3（2n+1）}$
• D． $\frac{n}{2n+1}$

Answer 1

分析 數列{a_n}的前項n和S_n=n²+2n，利用遞推關系可得a_n，再利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}的前項n和S_n=n²+2n，
∴n=1時，a₁=S₁=3．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，n=1時也成立．
∴a_n=2n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．
∴數列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前項n和=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{n}{3（2n+3）}$．
故選：A．

點評 本題考查了遞推關系、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．