Question

4．已知函數y=${（\frac{1}{2}）^{{x^2}-6x+17}}$
（1）求函數的定義域及值域；
（2）確定函數的單調區間．

Answer 1

分析 （1）易得定義域為R，由二次函數的最值和指數函數的單調性，可得值域；
（2）運用換元法和復合函數的單調性：同增異減，求得二次函數的單調區間，即可得到所求單調區間．

解答 解：（1）函數y=${（\frac{1}{2}）^{{x^2}-6x+17}}$的定義域為R，
由x²-6x+17=（x-3）²+8≥8，
則y≤（$\frac{1}{2}$）⁸=$\frac{1}{256}$，
則值域為（0，$\frac{1}{256}$）；
（2）設t=x²-6x+17，
則y=（$\frac{1}{2}$）^t在t∈R遞減，
由t的增區間為（3，+∞），減區間為（-∞，3），
運用復合函數的性質：同增異減，
可得所求函數的增區間為（-∞，3），增區間為（3，+∞）．

點評 本題考查函數的性質和運用，考查復合函數的單調性：同增異減，考查運算能力，屬于中檔題．