Question

14．若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（-∞，0]上單調(diào)遞減，且f（-4）=0，則使得x|f（x）+f（-x）|＜0的x的取值范圍是{x|0＜x＜04或x＜-4}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)f（x）的示意圖，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，由圖象求出不等式解集．

解答 解：∵f（x）在（-∞，0]上為減函數(shù)，且f（x）為R上的偶函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又f（4）=0，∴f（-4）=f（4）=0，
畫(huà)出f（x）的示意圖如圖所示：
∵f（x）為R上的偶函數(shù)，
∴x|f（x）+f（-x）|＜0等價(jià)于2x|f（x）|＜0，
由圖可得，不等式的解集是{x|x＜0且x≠-4}，
故答案為：{x|0＜x＜04或x＜-4}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查數(shù)形結(jié)合思想．