Question

14．已知命題p：“直線y=x+k與圓x²+y²=2有公共點”，命題q：“方程$\frac{x^2}{k-2}$-$\frac{y^2}{k}$=1表示雙曲線”．
（1）已知p是真命題，求實數k的取值范圍；
（2）已知“p∧q”是真命題，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p：“直線y=x+k與圓x²+y²=2有公共點”是真命題，則圓心（0，0）到直線x-y+k=0的距離不大于半徑，解得實數k的取值范圍；
（2）若“p∧q”是真命題，則p，q均為真命題，求兩個命題為真時k的范圍的交集，可得答案．

解答 解：（1）若命題p：“直線y=x+k與圓x²+y²=2有公共點”是真命題，
則圓心（0，0）到直線x-y+k=0的距離不大于半徑，
即$\frac{\left|k\right|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{2}$，
解得：k∈[-2，2]，
（2）若命題q：“方程$\frac{x^2}{k-2}$-$\frac{y^2}{k}$=1表示雙曲線”是真命題．
則（k-2）k＞0，
解得：k∈（-∞，0）∪（2，+∞），
若“p∧q”是真命題，則p，q均為真命題，
故k∈[-2，0）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了直線與圓的位置關系，雙曲線的定義，復合命題等知識點，難度中檔．