Question

6．已知二次函數f（x）=x²+bx+c，當x∈R時f（x）=f（2-x）恒成立，且3是f（x）的一個零點．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）設g（x）=f（a^x）（a＞1），若函數g（x）在區間[-1，1]上的最大值等于5，求實數a的值．

Answer 1

分析 （I）由已知可f（x）=f（2-x）恒成立，且3是f（x）的一個零點，求出b，c的值，可得函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）設t=a^x（a＞1），由x∈[-1，1]，可得：t∈[$\frac{1}{a}$，a]，結合函數g（x）在區間[-1，1]上的最大值等于5，分類討論，可得滿足條件的a值．

解答 解：（Ⅰ）由x∈R時f（x）=f（2-x）恒成立得函數的圖象關于直線x=1對稱；，
∴$-\frac{b}{2}$=1．解得：b=-2 …（3分）
又v的一個零點，
∴9-6+c=0．解得：c=-3．…（6分）
∴f（x）=x²-2x-3 …（7分）
（Ⅱ）設t=a^x，（a＞1），
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{a}$，a]…（9分）
若f（a）=5，則由a²-2a-3=5得a=4，或a=-2（舍去），此時f（a）＞f（$\frac{1}{a}$），符合題意；…（12分）
若f（$\frac{1}{a}$）=5，則可得a=$\frac{1}{4}$（舍去），或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），
∴a=4 …（15分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．