Question

1．已知二次函數f（x）=ax²+2x+c的對稱軸為x=1，g（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）．
（1）求函數g（x）的最小值及取得最小值時x的值；
（2）試確定c的取值范圍，使g（x）-f（x）=0至少有一個實根；
（3）若F（x）=-f（x）+4x+c，存在實數t，對任意x∈[1，m]，使F（x+t）≤3x恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據基本不等式即可求出函數的最值；
（2）根據對稱軸求出a=-1，分別求出f（x）_max=1+c，g（x）_min=2，即1+c≥2，解得即；
（3）把f（x+t）≤3x轉化為（x+t）²+2（x+t）≤3x，即h（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，在x∈[1，m]恒小于0問題，考查h（x）的圖象與性質，求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵x＞0，∴$\frac{1}{x}＞0$，
∴$x+\frac{1}{x}≥2$，當且僅當$x=\frac{1}{x}$，即x=1時“=”成立，即g（x）_min=2，此時x=1．
（2）f（x）的對稱軸為x=1，
∴a=-1，
∴f（x）=-x²+2x+c，g（x）-f（x）=0至少有一個實根，
∴g（x）=f（x）至少有一個實根，
即g（x）與f（x）的圖象在（0，+∞）上至少有一個交點，f（x）=-（x-1）²+1+c，
∴f（x）_max=1+c，g（x）_min=2，
∴1+c≥2，∴c≥1，
∴c的取值范圍為[1，+∞）．
（3）F（x）=x²-2x-c+4x+c=x²+2x，
∴F（x+t）=（x+t）²+2（x+t），
由已知存在實數t，對任意x∈[1，m]，使（x+t）²+2（x+t）≤3x恒成立．
∴x²+（2t-1）x+t²+2t≤0．
令h（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，
∴$\left\{\begin{array}{l}h（1）≤0\\ h（m）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t^2}+4t≤0\\{t^2}+（2m+2）t+{m^2}-m≤0\end{array}\right.$，
轉化為存在t∈[-4，0]，使t²+（2m+2）t+m²-m≤0成立．
令G（t）=t²+（2m+2）t+m²-m，
∴G（t）的對稱軸為t=-（m+1），
∵m＞1，
∴-（m+1）＜-2．
①當-4＜-（m+1）＜-2，即1＜m＜3時，
$G{（t）_{min}}=G（-m-1）={（-m-1）^2}+（2m+2）（-m-1）+{m^2}-m=-3m-1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}1＜m＜3\\-3m-1≤0\end{array}\right.$，
∴1＜m＜3．
②當-（m+1）≤-4，即m≥3時，
$G{（t）_{min}}=G（-4）=16-8m-8+{m^2}-m={m^2}-9m+8$，
∴$\left\{\begin{array}{l}m≥3\\{m^2}-9m+8≤0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}m≥3\\ 1≤m≤8\end{array}\right.$，
∴3≤m≤8．
綜上，實數m的取值范圍為（1，8]．

點評 本題考查了二次函數在閉區間上的最值問題的應用，解題時應討論對稱軸在區間內還是在區間左側，還是區間右側，從而確定函數的最值．