Question

14．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（1-x），x＜1}\\{\frac{2}{x-1}，x＞1}\end{array}\right.$，函數g（x）=$\frac{k}{{x}^{2}}$（k∈N*），若函數y=f（x）-g（x）僅有1個零點，則正整數k的最大值是7．

Answer 1

分析 作出f（x）與g（x）的函數圖象，根據圖象可得$\frac{k}{{x}^{2}}$＜$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立，分離參數得出k的范圍．

解答 解：作出f（x）的函數圖象如圖所示：

∵k是正整數，∴g（x）與f（x）的圖象在第二象限必有一交點，
又y=f（x）-g（x）僅有1個零點，
∴$\frac{k}{{x}^{2}}$＜$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立．
即k＜$\frac{2{x}^{2}}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立，
∵$\frac{2{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{2（x-1）^{2}+4（x-1）+2}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{2}{x-1}$+4≥4+4=8，當且僅當x-1=$\frac{1}{x-1}$即x=2時取等號，
∴k＜8．
∴正整數k的最大值為7．
故答案為：7．

點評 本題考查了函數零點與函數圖象的關系，屬于中檔題．