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10.已知直線l1:x+a2y+1=0和直線l2:(a2+1)x-by+3=0.
(1)若b=-12,l1∥l2,求a的值;
(2)若l1⊥l2,則|a•b|的最小值.

分析 (1)由l1∥l2得:a2(a2+1)+b=0,即a4+a2-12=0,解出即可得出.
(2)由l1⊥l2得:(a2+1)-a2b=0,(顯然a≠0),可得$b=\frac{{{a^2}+1}}{a^2}$,利用雙勾函數或基本不等式的性質即可得出.

解答 解:(1)由l1∥l2得:a2(a2+1)+b=0,即a4+a2-12=0,…(2分)
解得:$a=±\sqrt{3}$…(4分)
(2)由l1⊥l2得:(a2+1)-a2b=0,(顯然a≠0)…(6分)
∴$b=\frac{{{a^2}+1}}{a^2}$,…(8分)
$|{a•b}|=|{a•\frac{{{a^2}+1}}{a^2}}|=|{a+\frac{1}{a}}|$…(10分)
由雙勾函數可得:$|{a+\frac{1}{a}}|≥2$,故|ab|min=2…(12分)

點評 本題考查了直線相互平行垂直與斜率截距之間的關系、方程的解法、雙勾函數或基本不等式的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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