Question

2．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且b²+c²-a²=bc，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}＞0$，$a=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則b+c的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 利用b²+c²-a²=bc，代入到余弦定理中求得cosA的值，進而求得A，再利用正弦定理求得b、c，利用兩角和差的正弦公式化簡b+c的解析式，結合正弦函數的定義域和值域，求得b+c 的范圍．

解答 解：△ABC中，∵b²+c²-a²=bc，∴cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$，B+C=$\frac{2π}{3}$．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}＞0$，∴∠B為鈍角．
∵$a=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=1=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB
=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$），∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴b+c 的范圍為$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$，
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查了余弦定理的應用．注意余弦定理的變形式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．