Question

17．已知曲線C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}}\right.（t為參數）$．
（1）寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程；
（2）已知點P為曲線C上的一個動點，求點P到直線l的距離的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意直接寫出曲線C的參數方程，消去參數t可得直線l的普通方程；
（2）設點P的坐標為（2cosθ，3sinθ），由點到直線的距離公式表示出點P到直線l的距離d，由輔助角公式化簡后，由正弦函數的最值求出點P到直線l的距離的最大值及最小值．

解答 解：（1）∵曲線C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，
∴曲線C的參數方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），
∵直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}}\right.（t為參數）$．
∴消去t得，直線l的普通方程為：2x+y-6=0；（5分）
（2）設點P的坐標為（2cosθ，3sinθ），則點P到直線l的距離設為d，
則$d=\frac{{|{4cosθ+3sinθ-6}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}|{6-5sin（θ+ϕ）}|}}{5}$（其中$tanϕ=\frac{4}{3}$）
∵-1≤sin（θ+φ）≤1，
∴${d_{max}}=\frac{{11\sqrt{5}}}{5}$，${d_{min}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
即點P到直線l的距離的最大值及最小值分別為：$\frac{11\sqrt{5}}{5}$、$\frac{\sqrt{5}}{5}$．（10分）

點評 本題考查參數方程與普通方程的轉化，點到直線的距離公式，輔助角公式，以及正弦函數的最值的應用，考查化簡、變形能力．