Question

5．已知圓C：x²+y²+4x+3=0，若直線y=kx-1上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為-$\frac{4}{3}$≤k≤0．

Answer 1

分析 將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出圓心C的坐標(biāo)與半徑r，由題意可得以C為圓心，1為半徑的圓與直線y=kx-1有公共點(diǎn)，即圓心到直線y=kx-1的距離小于等于1，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的不等式求出不等式的解集，即可得到k的范圍．

解答 解：將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+2）²+y²=1，∴圓心C（-2，0），半徑r=1，
∵直線y=kx-1上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，
∴只需圓C：（x+2）²+y²=1與y=kx-1有公共點(diǎn)，
∵圓心（-2，0）到直線y=kx-1的距離d=$\frac{|-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，求得-$\frac{4}{3}$≤k≤0，
故答案為：-$\frac{4}{3}$≤k≤0．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，其中當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．