Question

15．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{{2^x}-1}|，x＜1\\ 2-x，x≥1\end{array}\right.$，若關于x的函數y=2f²（x）+2bf（x）+1有6個不同的零點，則實數b的取值范圍是（-$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 根據f（x）的圖象判斷f（x）=t的解的情況，從而得出關于t的方程2t²+2bt+1=0的根的分布情況，根據二次函數的性質列不等式組解出b的范圍．

解答 解：作出f（x）的函數圖象如下：

設f（x）=t，則當t=1或t＜0時，方程f（x）=t只有1解，
當t=0時，方程f（x）=t有2解，
當0＜t＜1時，方程f（x）=t有3解，
當t＞1時，方程f（x）=t無解．
∵關于x的函數y=2f²（x）+2bf（x）+1有6個不同的零點，
∴關于t的方程2t²+2bt+1=0在（0，1）上有兩解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4^{2}-8＞0}\\{0＜-\frac{2}＜1}\\{2+2b+1＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{3}{2}$＜b＜-$\sqrt{2}$．
故答案為：（-$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了方程根的個數與函數圖象的關系，二次函數的性質，屬于在中檔題．