Question

10．已知f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），則對任意實數a，b而言，命題“a+b＞0”是命題“f（a）+f（b）≥0”的（　�。�條件．

• A． 充分必要
• B． 充分非必要
• C． 必要非充分
• D． 既不充分也不必要

Answer 1

分析 根據函數的單調性以及充分條件和必要條件的定義即可得到結論．

解答 解：f（x）定義域為R，f（x）+f（-x）=x³+（-x）³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+log₂（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=0，
則f（x）為奇函數，x＞0時，根據復合函數“同增異減”原則以及函數四則運算容易看出f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），單調遞增，
又因為奇函數，因此f（x）在R單調遞增，
a+b＞0⇒f（a）＞f（-b）⇒f（a）+f（b）≥0，故：命題“a+b＞0”可以推出命題“f（a）+f（b）≥0”
若a=b=0，“f（a）+f（b）≥0”成立，但并不能推出“a+b＞0”，
故命題“a+b＞0”是命題“f（a）+f（b）≥0”的充分非必要條件，
故選：B

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，判斷函數的奇偶性和單調性是解決本題的關鍵．