Question

1．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，A，B 為其左右頂點，P是橢圓上異于A，B一點，直線AP與直線x=a交于點M，AP，BP 的斜率乘積為$-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）當點M縱坐標為$2\sqrt{6}$時，AM=4AP，求橢圓的方程；
（Ⅲ）若a=2，過M作直線BP的垂線l，問直線l是否恒過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得A，B的坐標，設出P的坐標，由P在橢圓上及AP，BP 的斜率乘積為$-\frac{1}{2}$列式求得橢圓的離心率；
（Ⅱ）由題意M（a，2$\sqrt{6}$），求出|AM|，求出AM所在直線的斜率，得到直線方程，與橢圓方程聯立，求出P的橫坐標，進一步得到|AP|，由AM=4AP可得b，結合（Ⅰ）求得a，則橢圓方程可求；
（Ⅲ）設AP斜率為k，則AP方程為y=k（x+2），由a=2，得到M的坐標，由AP，BP 的斜率乘積為$-\frac{1}{2}$，可得直線BP的斜率為$-\frac{1}{2k}$，過M垂直于BP的直線l的斜率為2k，直線方程為y-4k=2k（x-2），由此說明直線恒過坐標原點O（0，0）．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得：A（-a，0），B（a，0），設P（x₀，y₀），
由點P為橢圓C上一點可得${{y}_{0}}^{2}=\frac{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}•{b}^{2}$，①
∵直線PA與PB的斜率乘積是-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，②
聯立①②得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）由題意M（a，2$\sqrt{6}$），|AM|=$\sqrt{4{a}^{2}+24}$，${k}_{AM}=\frac{2\sqrt{6}}{2a}=\frac{\sqrt{6}}{a}$，
AM所在直線方程為：y=$\frac{\sqrt{6}}{a}（x+a）$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{6}}{a}（x+a）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（b²+6）x²+12ax+6a²-a²b²=0．
∴-a${x}_{P}=\frac{{a}^{2}（6-{b}^{2}）}{{b}^{2}+6}$，得${x}_{P}=-\frac{a（6-{b}^{2}）}{6+{b}^{2}}$，
∴|AP|=$\frac{a|6-{b}^{2}|}{6+{b}^{2}}•\frac{\sqrt{4{a}^{2}+24}}{2a}=\frac{|6-{b}^{2}|\sqrt{{a}^{2}+6}}{6+{b}^{2}}$，
由AM=4AP，得$\sqrt{4{a}^{2}+24}=4\frac{|6-{b}^{2}|\sqrt{{a}^{2}+6}}{6+{b}^{2}}$，即6+b²=2|6-b²|，
解得：b²=2或b²=12．
由（Ⅰ）知，a²=2b²，∴a²=4或a²=24．
∴題意方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$或$\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（Ⅲ）若a=2，由（Ⅰ）得，b²=2，則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
設AP斜率為k，則AP方程為y=k（x+2），聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$，得M（2，4k），
直線BP的斜率為$-\frac{1}{2k}$，過M垂直于BP的直線l的斜率為2k，直線方程為y-4k=2k（x-2），
即y=2kx，直線恒過坐標原點O（0，0）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，考查數形結合的解題思想方法與數學轉化思想方法，是中檔題．