Question

19．設函數f′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＞0，則使得函數f（x）＞0成立的x取值范圍是（　�。�

• A． （-1，0）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（0，1）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 根據已知條件構造新函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，在利用g（x）的導函數的符號，判定其單調性，依據其圖象可求解．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，∴g（x）在[0，+∞）單調遞增，且g（1）=$\frac{f（1）}{1}$=0，∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞0在（1，+∞）上成立，
即x∈（1，+∞）時，f（x）＞0，x∈（0，1，）時，f（x）＜0，又因為f（x）是奇函數，所以x∈（-1，0，）時，f（x）＞0，
∴使得函數f（x）＞0成立的x取值范圍：（-1，0）∪（1，+∞）．
故答案選A．

點評 本題考查了利用已知構造抽象函數，解函數不等式，是必須掌握的一種解題技巧，屬于中檔題．