Question

13．若a=log₉7，則3^a+3^-a=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．設α為銳角，若cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，則sin（α-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 把a值代入3^a+3^-a，然后利用對數的運算性質化簡求值；根據題意求得sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，再根據sin（α-$\frac{π}{12}$）=sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]，再利用兩角差的正弦公式計算求得結果．

解答 解：∵a=log₉7=$lo{g}_{3}\sqrt{7}$，∴3^a+3^-a=${3}^{lo{g}_{3}\sqrt{7}}+{3}^{lo{g}_{3}\frac{\sqrt{7}}{7}}$=$\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{7}=\frac{8\sqrt{7}}{7}$；
∵α為銳角，cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$為正數，
∴α+$\frac{π}{6}$是銳角，sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-$\frac{π}{12}$）=sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]
=sin（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故答案為：$\frac{{8\sqrt{7}}}{7}$；$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．

點評 本題考查對數的運算性質，著重考查了兩角和與差的正弦公式，考查了三角函數中的恒等變換應用，屬于中檔題．