Question

1．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=2，則四棱錐A-BB₁D₁D的體積為$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 推導出AC⊥平面BB₁D₁D，從而四棱錐A-BB₁D₁D的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{四邊形B{B}_{1}{D}_{1}D}×（\frac{1}{2}AC）$，由此能求出結果．

解答 解：∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=2，
∴AC⊥BD，AC⊥BB₁，
又BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∴四棱錐A-BB₁D₁D的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{四邊形B{B}_{1}{D}_{1}D}×（\frac{1}{2}AC）$
=$\frac{1}{3}×BD×B{B}_{1}×\frac{1}{2}AC$
=$\frac{1}{3}×4\sqrt{2}×2×\frac{1}{2}×4\sqrt{2}$
=$\frac{32}{3}$．
故答案為：$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．