Question

3．下列命題中正確的是（　　）

• A． 函數y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數
• B． 函數y=2sin（$\frac{π}{6}$-2x）在區間[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上單調遞減
• C． 函數y=2sin（$\frac{π}{3}-2x$）-cos（$\frac{π}{6}+2x$）（x∈R）的一條對稱軸方程是x=$\frac{π}{6}$
• D． 函數y=sinπx•cosπx的最小正周期為2，且它的最大值為1

Answer 1

分析 利用誘導公式及二倍角公式化簡，利用正弦及余弦函數圖象及性質，分別判斷，即可求得答案．

解答 解：由y=sinx為奇函數，并不是x∈[0，2π]是奇函數，故A錯誤；
y=2sin（$\frac{π}{6}$-2x）=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得：-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴y=2sin（$\frac{π}{6}$-2x）單調遞減區間為[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z，
當k=0時，單調遞減區間為[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]，
∴函數y=2sin（$\frac{π}{6}$-2x）在區間[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上單調遞減，
故B正確；
y=2sin（$\frac{π}{3}-2x$）-cos（$\frac{π}{6}+2x$）=2cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}-2x$）]-cos（$\frac{π}{6}+2x$）=cos（2x+$\frac{π}{6}$），
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
x=$\frac{π}{6}$不是數y=2sin（$\frac{π}{3}-2x$）-cos（$\frac{π}{6}+2x$）（x∈R）的一條對稱軸，故C錯誤；
由y=sinπx•cosπx=$\frac{1}{2}$sin2πx，
∴函數的周期T=$\frac{2π}{ω}$=1，最大值為$\frac{1}{2}$，故D錯誤，
故選B．

點評 本題考查誘導公式及二倍角公式的應用，考查正弦函數的單調性，周期及最值的性質，考查正弦函數的綜合應用，屬于中檔題．