Question

18．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=a+2t}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為常數(shù)）．
（1）求直線l和圓C的普通方程；
（2）若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程；在圓C的參數(shù)方程中，由sin²θ+cos²θ=1，能求出圓C的普通方程．
（2）由直線l與圓C有公共點，得到圓心C（2，0）到直線l：2x-2-2a=0的距離不大于半徑，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=a+2t}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得：x=a+$\frac{y}{2}$，整理，得：2x-y-2a=0．
∴直線l的普通方程為：2x-y-2a=0．
∵圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為常數(shù)），
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=x-2}\\{sinθ=y}\end{array}\right.$，
∵sin²θ+cos²θ=1，
∴圓C的普通方程為：（x-2）²+y²=1．
（2）∵直線l與圓C有公共點，
圓C：（x-2）²+y²=1的圓心為C（2，0），半徑為r=1，
∴圓心C（2，0）到直線l：2x-2-2a=0的距離：
$d=\frac{{|{4-2a}|}}{{\sqrt{5}}}≤1$，
解得$\frac{4-\sqrt{5}}{2}≤a≤\frac{4+\sqrt{5}}{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{4-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{4+\sqrt{5}}{2}$）．

點評 本題考查直線與圓的方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．