Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，AD=2，AB=1，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=3，設G為PB中點，點F在線段PD上且PF=2FD．
（1）求點G到ACF的距離；
（2）在線段PC上是否存在點E，使得BE∥面ACF，若存在，確定點E的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由驗證利用余弦定理可得：AC²=3，于是AB²+AC²=BC²．可得AB⊥AC．又PA⊥面ABCD，以AB，AC，AP分別為x，y，z軸建立坐標系．利用$\overrightarrow{PF}=2\overrightarrow{FD}$，可得F坐標．設面ACF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用點G到ACF的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．
（2）取線段PC的中點E，使得BE∥面ACF，只要證明$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=0，且BE?面ACF，即可得出BE∥平面ACF．

解答 （Ⅰ）解：∵由AD=2，AB=1，ABCD是平行四邊形，∠ABC=60°，
∴AC²=1²+2²-2×1×2cos60°=3，
∴AB²+AC²=BC²=4．
∴AB⊥AC．
又∵PA⊥面ABCD，∴以AB，AC，AP分別為x，y，z軸建立坐標系．
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
D（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，3），G$（\frac{1}{2}，0，\frac{3}{2}）$．
設F（x，y，z），∵$\overrightarrow{PF}=2\overrightarrow{FD}$，（x，y，z-3）=2（-1-x，$\sqrt{3}$-y，-z）．解得：x=-$\frac{2}{3}$，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，z=1，∴F$（-\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{3}}{3}，1）$．
設面ACF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y=0}\\{-\frac{2}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}y+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（3，0，2）．
∴點G到ACF的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}+3}{\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{9\sqrt{13}}{26}$．
（2）解：取線段PC的中點E，使得BE∥面ACF，E$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．
$\overrightarrow{BE}$=$（-1，\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$，∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=-3+0+$\frac{3}{2}×3$=0，
∴$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{BE}$，且BE?面ACF，
∴BE∥平面ACF．

點評 本題考查了空間位置關系、線面平行與垂直的判定與性質定理、法向量的應用、向量垂直與數量積的關系、向量坐標運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．