Question

8．已知△ABC的內角A，B，C滿足sinC[cos（A-B）+cosC]=$\frac{1}{4}$，面積S滿足1≤S≤2，記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，則下列不等式一定成立的是（　　）

• A． bc（b+c）≤8
• B． bc（b+c）＞8
• C． 12≤abc≤24
• D． 6≤abc≤12

Answer 1

分析 根據三角恒等變換化簡sin C[cos（A-B）+cosC]=$\frac{1}{4}$，得出sinAsinBsinC的值，再利用△ABC的面積S根式求出△ABC外接圓半徑R的取值范圍，即可判斷bc（b+c）的取值范圍．

解答 解：△ABC中，sinC[cos（A-B）+cosC]=$\frac{1}{4}$，
∴sinC[cos（A-B）-cos（A+B）]=$\frac{1}{4}$，
∴sinC[cosAcosB+sinAsinB-cosAcosB+sinAsinB]=$\frac{1}{4}$，
即2sinAsinBsinC=$\frac{1}{4}$，
∴sinAsinBsinC=$\frac{1}{8}$；
又△ABC的面積S滿足1≤S≤2，
∴S=$\frac{1}{2}$absinC=2R²sinAsinBsinC=$\frac{{R}^{2}}{4}$∈[1，2]，
其中R為△ABC外接圓的半徑，
∴R²∈[4，8]，
∴bc（b+c）＞bca=8R³sinAsinBsinC=R³≥2³=8，
即bc（b+c）＞8成立．
故選：B．

點評 本題考查了三角恒等變換以及正弦定理的應用問題，也考查了不等式的應用問題，是難題．