Question

7．已知函數f（x）=e^x-kx+k（k∈R）．
（1）試討論函數y=f（x）的單調性；
（2）若該函數有兩個不同的零點x₁，x₂試求實數k取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論k的范圍求出函數的單調區間即可；
（2）結合題意得到k＞0時，函數的單調性，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-kx+k，（k∈R），則f′（x）=e^x-k，
討論：若k≤0，則f′（x）＞0，故f（x）在定義域上單調遞增；
若k＞0，令f′（x）＞0，解得x＞lnk；令f′（x）＜0，解得x＜lnk，
綜上：當k≤0時，f（x）的單調遞增區間為R，無單調遞減區間；
當k＞0時，f（x）的單調遞增區間為（lnk，+∞），單調遞減區間為（-∞，lnk），
（2）由題意：由（1）可知，當k≤0時，函數至多只有一個零點，不符合題意，舍去；
k＞0時，令f（lnk）=e^lnk-klnk+k＜0，解得k＞e²，
此時f（1）=e＞0；x→+∞時，f（x）→+∞＞0，
因此會有兩個零點，符合題意．
綜上：實數k的取值范圍是（e²，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．