Question

19．當0＜a＜1時，不等式${log_a}（4-3x）＞-{log_{\frac{1}{a}}}（2+x）$的解集是（$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 不等式等價于${log_a}（4-3x）＞-{log_{\frac{1}{a}}}（2+x）$=log_a（x+2），等價于 $\left\{\begin{array}{l}{4-3x＞0}\\{x+2＞0}\\{4-3x＜x+2}\end{array}\right.$，由此求得x的范圍．

解答 解：當0＜a＜1時，不等式${log_a}（4-3x）＞-{log_{\frac{1}{a}}}（2+x）$，
等價于 ${log_a}（4-3x）＞-{log_{\frac{1}{a}}}（2+x）$=${log}_{\frac{1}{a}}\frac{1}{x+2}$=log_a（x+2），
等價于 $\left\{\begin{array}{l}{4-3x＞0}\\{x+2＞0}\\{4-3x＜x+2}\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{4}{3}$，
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題主要考查對數函數的定義域和單調性，對數不等式的解法，屬于基礎題．