Question

13．已知函數f（x）=x²-ax+3在區間（-∞，2）上是減函數，在區間[2，+∞）上是增函數．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在區間[0，3]上的值域；
（3）求f（x）在區間[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．

Answer 1

分析 （1）由函數f（x）=x²-ax+3在區間（-∞，2）上是減函數，在區間[2，+∞）上是增函數，可得函數圖象的對稱軸為x=2，進而得到a的值；
（2）分析f（x）在區間[0，3]上的單調性，進而得到f（x）在區間[0，3]上的最值，可得f（x）在區間[0，3]上的值域；
（3）結合二次函數的圖象和性質，分類討論，可得f（x）在區間[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．

解答 解：（1）∵函數f（x）=x²-ax+3在區間（-∞，2）上是減函數，在區間[2，+∞）上是增函數，
∴f（x）圖象的對稱軸為x=2，
即$\frac{a}{2}$=2，
∴a=4．…（3分）
（2）∵f（x）=x²-4x+3在[0，2]上遞減，在[2，3]上遞增，
∴當x=2時，f（x）取最小值-1，
又由f（0）=3，f（3）=0得：
∴當x=0時，f（x）取最大值3，
∴f（x）在區間[0，3]上值域為[-1，3]．…（7分）
（3）令f（x）=x²-4x+3=3，則x=0，或x=4，
故當0＜m≤4時，f（x）在區間[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）=f（0）=3；
當m＞4時，f（x）在區間[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）=f（m）=m²-4m+3，
綜上可得：g（m）=$\left\{\begin{array}{l}3，0＜m≤4\\{m}^{2}-4m+3，m＞4\end{array}\right.$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．