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14.已知二次函數f(x)滿足f(0)=1且f(x+1)-f(x)=2x+2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式; 
(Ⅱ)若g(x)=2f(x),x∈[-1,1],求g(x)的值域.

分析 (Ⅰ)設f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1得c=1,由f(x+1)-f(x)=2x+2,得2ax+a+b=2x+2,解方程組求出a,b的值,從而求出函數的解析式;
(Ⅱ)f(x)=x2+x+1的圖象是開口朝上,且以直線x=-$\frac{1}{2}$的拋物線,先求出f(x),x∈[-1,1]的最值,進而可得g(x),x∈[-1,1]的最值,進而得到答案.

解答 解:(Ⅰ)設f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1得c=1,
故f(x)=ax2+bx+1.
因為f(x+1)-f(x)=2x+2,
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x+2.
即2ax+a+b=2x+2,
∴2a=a+b=2,解得:a=1,b=1,
∴f(x)=x2+x+1
(Ⅱ)f(x)=x2+x+1的圖象是開口朝上,且以直線x=-$\frac{1}{2}$的拋物線,
由x∈[-1,1]得:
當x=-$\frac{1}{2}$時,f(x)取最小值$\frac{3}{4}$,此時g(x)=2f(x)取最小值$\root{4}{8}$,
當x=1時,f(x)取最大值3,此時g(x)=2f(x)取最大值8,
故g(x)的值域為[$\root{4}{8}$,8]

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質,熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵.

練習冊系列答案
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