Question

4．已知點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），直線EP、FP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為$-\frac{1}{4}$．
（1）求證：點(diǎn)P的軌跡在一個(gè)橢圓C上，并寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)過原點(diǎn)O的直線AB交（1）中的橢圓C于點(diǎn)A、B，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（1，\frac{1}{2}）$，試求△MAB面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的斜率k_AB．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），求出斜率，列出方程化簡求解即可；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx，A（x₁，kx₁），則B（-x₁，-kx₁），聯(lián)立直線和橢圓的方程，求得${x}^{2}=\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，利用弦定公式，求出AB的長，利用點(diǎn)到直線公式，求出M點(diǎn)直線AB的距離，得到△MAB面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出△MAB面積m的取值范圍，得到△MAB面積m的最大值，代入可求出對(duì)應(yīng)的k值．

解答 （1）證明：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則
${k}_{EP}•{k}_{FP}=\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}$，
化簡得P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$（x≠±2），
∴點(diǎn)P的軌跡在一個(gè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$上；
（2）解：設(shè)直線AB的方程為y=kx，A（x₁，kx₁），則B（-x₁，-kx₁），
聯(lián)立y=kx與$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得${x}^{2}=\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，
AB=2OA=2$\sqrt{（1+{k}^{2}）{{x}_{1}}^{2}}$=4$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$，
∵M(jìn)（1，$\frac{1}{2}$）到直線AB的距離d=$\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴${S}_{△MAB}=\frac{1}{2}$AB•d=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$×$\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=m，
得4（1-m²）k²-4k+1-m²=0，
則4²-4•4（1-m²）•（1-m²）≥0．
即（1-m²）²≤1，
又由m≥0，可得0≤m≤$\sqrt{2}$，
即三角形MAB的最大值為$\sqrt{2}$，代入4（1-m²）k²-4k+1-m²=0，得k=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了函數(shù)最值的求法，是中檔題．