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13.函數f(x)=sin(ωx+ϕ)$(ω>0,0<ϕ<\frac{π}{2})$,f(0)=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,且對任意${x_1},{x_2}∈(\frac{π}{2},π)$均滿足$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{f({x_1})-f({x_2})}}<0({x_1}≠{x_2})$,則ω的取值范圍是$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$.

分析 根據題意,得出函數的周期T=$\frac{2π}{ω}$≥π,解得ω≤2;
由題意得出f(x)是($\frac{π}{2}$,π)上的單調減函數,得出$\frac{π}{2}$+2kπ<ωx+$\frac{π}{4}$<$\frac{3π}{2}$+2kπ,k∈Z,
由此建立不等關系,求出實數ω的取值范圍.

解答 解:函數f(x)=sin(ωx+φ),且f(0)=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
∴sinφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
又0<φ<$\frac{π}{2}$,
∴φ=$\frac{π}{4}$;
又對任意${x_1},{x_2}∈(\frac{π}{2},π)$均滿足$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{f({x_1})-f({x_2})}}<0({x_1}≠{x_2})$,
∴f(x)在($\frac{π}{2}$,π)上是單調減函數,
∴ωx+$\frac{π}{4}$∈($\frac{1}{2}$ωπ+$\frac{π}{4}$,ωπ+$\frac{π}{4}$),
且周期T=$\frac{2π}{ω}$≥π,解得ω≤2;
∵f(x)=sin(ωx+$\frac{π}{4}$)的減區間滿足:
$\frac{π}{2}$+2kπ<ωx+$\frac{π}{4}$<$\frac{3π}{2}$+2kπ,k∈Z,
取k=0時,得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ωπ+\frac{π}{4}≥\frac{π}{2}}\\{ωπ+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$,
解得$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$.
故答案為:$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$.

點評 本題考查了函數y=Asin(ωx+φ)的單調性質與圖象的變換應用問題,屬于綜合性題目.

練習冊系列答案
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