Question

1．已知函數$f（x）=\frac{1}{3}a{x^3}+\frac{1}{2}（a+1）{x^2}-（a+2）x+6$的極大值是f（-3）=15，
（1）是否存在極小值？若存在求出極小值．若不存在說明理由；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）利用函數的極大值求出a，然后求解函數的導數，求出極值點，判斷單調性求出極小值．
（2）利用（1）直接求解函數的單調區間即可．

解答 解：（1）函數$f（x）=\frac{1}{3}a{x^3}+\frac{1}{2}（a+1）{x^2}-（a+2）x+6$的極大值是f（-3）=15，即y_極大值=f（-3）=15，
可得-9a+$\frac{9}{2}$（a+1）+3（a+2）+6=15，
得a=1．…（2分），
f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$+x²-3x+6
得y′=x²+2x-3，
令y′=0，得x=-3，或x=1，…（4分）  x∈（-3，1）時，y′＜0，函數是減函數，x∈（1，+∞）時，y′＞0，函數是
增函數，
x=1時，函數取得極小值，
 ${y_{極小值}}=f（1）=\frac{13}{3}$，…（8分）
（2）由（1）可知函數的增區間為：（-∞，-3）和（1，+∞），減區間為：（-3，1）．…（12分）．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的極值以及函數的單調性的求法，考查轉化思想以及計算能力．