Question

16．若函數(shù)f（x）=x³-3x-a，當(dāng)x∈[0，3]上時(shí)，m≤f（x）≤n恒成立，則n-m的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 18
• D． 20

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)可求得當(dāng)x∈[0，3]上時(shí)，f（x）∈[-2-a，18-a]，依題意，有[m，n]⊆[-2-a，18-a]，即m≤-2-a，n≥18-a，利用不等式的性質(zhì)即可求得n-m的最小值．

解答 解：∵f（x）=x³-3x-a，
∴f′（x）=3x²-3，
∴當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）=x³-3x-a在區(qū)間[0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）=x³-3x-a在區(qū)間（1，3]上單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=x³-3x-a取得極小值f（1）=-2-a，也是區(qū)間[0，3]上的最小值；
又f（0）=-a，f（3）=27-9-a=18-a，
∴f（x）_min=-2-a，f（x）_max=18-a，
∵當(dāng)x∈[0，3]上時(shí)，m≤f（x）≤n恒成立，
∴[m，n]⊆[-2-a，18-a]，
即m≤-2-a，n≥18-a，
∴n-m≥18-a-（-2-a）=20，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求得當(dāng)x∈[0，3]上時(shí)，f（x）∈[-2-a，18-a]，且[m，n]⊆[-2-a，18-a]是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查推理與運(yùn)算能力，屬于難題．