Question

4．若正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是D₁C₁、AB的中點，則A₁B₁與截面A₁ECF所成的角的正切值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 證明直線EF垂直平面A₁B₁C內的兩條相交直線A₁C、B₁C，可得EF⊥平面A₁B₁C，從而B₁在平面A₁ECF上的射影在線段A₁C上，則∠B₁A₁C就是A₁B₁與平面A₁ECF所成的角．然后解三角形，求A₁B₁與平面A₁ECF所成角的正切值，即可得出結論．

解答 解：連接C₁B，
∵E、F分別為C₁D₁與AB的中點，
∴A₁F=CE．
又A₁F∥CE，
∴A₁FCB為平行四邊形，
∴C₁B∥EF．
而C₁B⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．
又四邊形A₁ECF是菱形，∴EF⊥A₁C．∴EF⊥面A₁B₁C．
又EF?平面A₁ECF，
∴平面A₁B₁C⊥平面A₁ECF，
∴B₁在平面A₁ECF上的射影在線段A₁C上．
∴∠B₁A₁C就是A₁B₁與平面A₁ECF所成的角．
∵A₁B₁⊥B₁C，在Rt△A₁B₁C中，tan∠B₁A₁C=$\sqrt{2}$．
∴A₁B₁與平面A₁ECF所成角為arctan$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．