Question

14．函數f（x）滿足條件：對于函數f（x）的零點x₀，當$\left\{\begin{array}{l}（a-{x_0}）（b-{x_0}）＜0\\（a-b）[f（a）-f（b）]＜0\end{array}\right.$成立時，恒有$ab＜x_0^2$或a+b＜2x₀，則稱函數f（x）為“好函數”．則下列三個函數：①f（x）=|lgx|，②f（x）=|cosx|（0≤x≤π），③f（x）=|2^x-2|，為“好函數”的個數有（　　）

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 根據已知中“好函數”的定義，逐一分析給定四個函數是否為“好函數”，可得答案．

解答 解：不妨設a≤b．則$\left\{\begin{array}{l}（a-{x_0}）（b-{x_0}）＜0\\（a-b）[f（a）-f（b）]＜0\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}a＜{x_0}＜b\\ f（b）-f（a）＜0.\end{array}\right.$，
對于①：x₀=1，當0＜a＜1＜b時，$f（b）-f（a）=lgb+lga=lg（ab）＜0⇒ab＜1=x_0^2$，故①中函數是“好函數”；
對于②：${x_0}=\frac{π}{2}$，當$0≤a＜\frac{π}{2}＜b≤π$時，f（b）-f（a）=-cosb-cosa=cos（π-b）-cosa＜0，
因為π-b，$a∈[{0，\frac{π}{2}}）$，故π-b＞a⇒a+b＜π．故$ab≤{（{\frac{a+b}{2}}）^2}＜{（{\frac{π}{2}}）^2}=x_0^2$，故②中函數是“好函數”；
對于③：x₀=1，當a＜1＜b時，f（b）-f（a）=2^b-2-（2-2^a）=2^a+2^b-4＜0，
故$2＞\frac{{{2^a}+{2^b}}}{2}≥\sqrt{{2^a}×{2^b}}=\sqrt{{2^{a+b}}}⇒\frac{a+b}{2}＜1⇒a+b＜2=2{x_0}$，故③中函數是“好函數”．
故選D．

點評 本題考查的知識點是新定義“好函數”，正確理解新定義“好函數”的含義，是解答的關鍵．