Question

10．某公司為確定下一年投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年利潤y（單位：萬元）的影響，對近5年的宣傳費x_i和年利潤y_i（i=1，2，3，4，5）進行了統計，列出了下表：

x（單位：千元）	2	4	7	17	30
y（單位：萬元）	1	2	3	4	5

員工小王和小李分別提供了不同的方案．
（1）小王準備用線性回歸模型擬合y與x的關系，請你建立y關于x的線性回歸方程（系數精確到0.01）；
（2）小李決定選擇對數回歸模擬擬合y與x的關系，得到了回歸方程：$\widehat{y}$=1.450lnx+0.024，并提供了相關指數R²=0.995，請用相關指數說明選擇哪個模型更合適，并預測年宣傳費為4萬元的年利潤（精確到0.01）（小王也提供了他的分析數據$\sum_{i=1}^{5}$（y_i-$\widehat{y}$_i）²=1.15）
參考公式：相關指數R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$
回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$x，參考數據：ln40=3.688，${\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）}^2}$=538．

Answer 1

分析 （1）$\overline{x}$=12，$\overline{y}$=3，求出回歸系數，可得回歸方程；
（2）小王模型的相關指數R²=0.89，這個值比小李模型相關指數小，小李模型的擬合度更好，所以選擇小李提供的模型更合適．

解答 解：（1）$\overline{x}$=12，$\overline{y}$=3，所以，$\stackrel{∧}$=$\frac{69}{538}$≈0.13，$\stackrel{∧}{a}$=1.44，
小王建立y關于x的線性回歸方程為：$\stackrel{∧}{y}$=0.13x+1.44．…（6分）
（2）據$\sum_{i=1}^{5}$（y_i-$\overline{y}$）²=10，所以小王模型的相關指數R²=0.89，這個值比小李模型相關指數小，小李模型的擬合度更好，所以選擇小李提供的模型更合適．
當x=40 時，由小李模型得$\stackrel{∧}{y}$≈5.37，
預測年宣傳費為4萬元的年利潤為5.37萬元．…（12分）

點評 本題考查了線性回歸方程的特點，考查相關指數，屬于中檔題．