Question

15．已知直線l：y=x+m，圓O：x²+y²-4=0，圓C：x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（0＜a≤4）．
（1）若a=3，圓O與圓C交于M，N兩點，試求線段|MN|的長．
（2）直線 l與圓C相切，且直線l在圓C心的下方，當0＜a≤4時，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由方程x²+y²-4=0與x²+y²+6x-6y+6=0消去二次項得，3x-3y+5=0，再求得圓心O到直線3x-3y+5=0的距離，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系得線段|MN|的長；
（2）由直線l與圓C相切，建立m與a的關系$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$，再由點C在直線l的上方，去掉絕對值，將m轉化為關于a二次函數求解．

解答 解：（1）當a=3時，C：x²+y²+6x-6y+6=0，由方程x²+y²-4=0與x²+y²+6x-6y+6=0消去二次項得，3x-3y+5=0，圓心O到直線3x-3y+5=0的距離為$d=\frac{{|{0-0+5}|}}{{\sqrt{9+9}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{6}$，∴$|{MN}|=2\sqrt{4-\frac{25}{18}}=\frac{{\sqrt{94}}}{3}$．
（2）∵x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0，∴（x+a）²+（y-a）²=4a，∴圓心C（-a，a），半徑$r=2\sqrt{a}$，
圓心C（-a，a）到直線l的距離為$d=\frac{{|{-a-a+m}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}$，
∵直線l與圓C₂相切，∴d=r，即$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$，∴$m=2a±2\sqrt{2a}$，
∵直線l在圓心C的下方，∴$m=2a-2\sqrt{2a}={（{\sqrt{2a}-1}）^2}-1$，∵0＜a≤4，
∴$m∈[{-1，8-4\sqrt{2}}]$．

點評 本題主要考查直線與圓的位置關系及其方程的應用，主要涉及了直線與圓相交，由圓心距，半徑和圓的弦長構成的直角三角形．