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15.已知直線l:y=x+m,圓O:x2+y2-4=0,圓C:x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4).
(1)若a=3,圓O與圓C交于M,N兩點,試求線段|MN|的長.
(2)直線 l與圓C相切,且直線l在圓C心的下方,當0<a≤4時,求m的取值范圍.

分析 (1)由方程x2+y2-4=0與x2+y2+6x-6y+6=0消去二次項得,3x-3y+5=0,再求得圓心O到直線3x-3y+5=0的距離,由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系得線段|MN|的長;
(2)由直線l與圓C相切,建立m與a的關系$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$,再由點C在直線l的上方,去掉絕對值,將m轉化為關于a二次函數求解.

解答 解:(1)當a=3時,C:x2+y2+6x-6y+6=0,由方程x2+y2-4=0與x2+y2+6x-6y+6=0消去二次項得,3x-3y+5=0,圓心O到直線3x-3y+5=0的距離為$d=\frac{{|{0-0+5}|}}{{\sqrt{9+9}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{6}$,∴$|{MN}|=2\sqrt{4-\frac{25}{18}}=\frac{{\sqrt{94}}}{3}$.
(2)∵x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0,∴(x+a)2+(y-a)2=4a,∴圓心C(-a,a),半徑$r=2\sqrt{a}$,
圓心C(-a,a)到直線l的距離為$d=\frac{{|{-a-a+m}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}$,
∵直線l與圓C2相切,∴d=r,即$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$,∴$m=2a±2\sqrt{2a}$,
∵直線l在圓心C的下方,∴$m=2a-2\sqrt{2a}={({\sqrt{2a}-1})^2}-1$,∵0<a≤4,
∴$m∈[{-1,8-4\sqrt{2}}]$.

點評 本題主要考查直線與圓的位置關系及其方程的應用,主要涉及了直線與圓相交,由圓心距,半徑和圓的弦長構成的直角三角形.

練習冊系列答案
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(1)若D為邊BC的中點,求證:BE∥平面ADC1
(2)若AB=BB1=2,記l為平面BEC與平面ADC1的交線,試確定點D的位置,使得直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$.

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(1)an=(-1)n(n2+1),
(2)a1=1,an=1+$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$(n>1).

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10.某公司為確定下一年投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年利潤y(單位:萬元)的影響,對近5年的宣傳費xi和年利潤yi(i=1,2,3,4,5)進行了統計,列出了下表:
x(單位:千元)2471730
y(單位:萬元)12345
員工小王和小李分別提供了不同的方案.
(1)小王準備用線性回歸模型擬合y與x的關系,請你建立y關于x的線性回歸方程(系數精確到0.01);
(2)小李決定選擇對數回歸模擬擬合y與x的關系,得到了回歸方程:$\widehat{y}$=1.450lnx+0.024,并提供了相關指數R2=0.995,請用相關指數說明選擇哪個模型更合適,并預測年宣傳費為4萬元的年利潤(精確到0.01)(小王也提供了他的分析數據$\sum_{i=1}^{5}$(yi-$\widehat{y}$i2=1.15)
參考公式:相關指數R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-{\widehat{y}}_{i})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}$
回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}}$,$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x,參考數據:ln40=3.688,${\sum_{i=1}^5{({x_i}-\overline x)}^2}$=538.

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20.如圖所示,菱形ABCD的邊長為4,∠BAD=$\frac{π}{3}$,AC∩BD=O.將菱形ABCD沿對角線AC折起,得到三棱錐B′-ACD,M為B′C的中點,DM=2$\sqrt{2}$.
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7.已知函數f(x)=x2-2ax+3.
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(1)若$x∈({-\frac{π}{6},0}]$,求$4f(x)+\frac{1}{f(x)}$的最小值,并確定此時x的值;
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