Question

5．如圖，幾何體ABC-C₁B₁的底面ABC為等邊三角形，側面BB₁C₁C為矩形，B₁B⊥平面ABC，E為邊AB₁的中點，D在邊BC上移動．
（1）若D為邊BC的中點，求證：BE∥平面ADC₁；
（2）若AB=BB₁=2，記l為平面BEC與平面ADC₁的交線，試確定點D的位置，使得直線l與平面ACC₁所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

Answer 1

分析 （1）取AC₁的中點F，則四邊形BEFD為平行四邊形，從而BE∥DF，由此能證明BE∥平面ADC₁．
（2）取點G為AC的中點，直線DF即直線l，以BC的中點O為原點，OC為x軸，OA為y軸，過O垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點D是線段OC中點時，使得直線l與平面ACC₁所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

解答 證明：（1）取AC₁的中點F，則EF∥B₁C₁∥BD，
且EF=$\frac{1}{2}$B₁C₁=BD，
∴四邊形BEFD為平行四邊形，∴BE∥DF，
又DE?平面ADC₁，∴BE∥平面ADC₁．
解：（2）取點G為AC的中點，由（1）知直線DF即直線l，
GB⊥平面ACC₁，即確定點D的位置，使得直線l與平面ACC₁所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
如圖，以BC的中點O為原點，OC為x軸，OA為y軸，
過O垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則C（1，0，0），C₁（1，0，2），A（0，$\sqrt{3}$，0），
∵E和F關于平面yoz對稱，∴F（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∵BG⊥AC，BG⊥AC₁，設D（a，0，0），
∴平面ACC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{BG}$=（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0$），$\overrightarrow{FD}$=（a-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1），
∵直線l與平面ACC₁所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{FD}|}$=$\frac{|\frac{3}{2}（a-\frac{1}{2}）-\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}•\sqrt{（a-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
整理，得6a²-13a+5=0，解得a=$\frac{1}{2}$，或a=$\frac{5}{3}$，
∵D在邊BC上移動，∴a=$\frac{1}{2}$，
∴點D是線段OC中點時，使得直線l與平面ACC₁所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的點的位置的確定，是中要檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．