Question

10．如圖，正方形ABCD中，E是AB的中點，CE與以BC為直徑的半圓O交于點F，C
（Ⅰ）證明：DF與圓O相切
（Ⅱ）證明：△DCF∽△OBF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OD，通過證明：△FOD≌△COD，得到∠DFO=∠DCO=90°，即可證明DF與圓O相切；
（Ⅱ）通過證明：$\frac{DF}{OF}=\frac{DC}{OB}$，即可證明△DCF∽△OBF．

解答 （Ⅰ）證明：連接OD，
∵正方形ABCD中，E、O分別是AB、BC的中點，
∴EB=OC，
∵BC=CD，∠EBC=∠OCD=90°，
∴△EBC≌△OCD，
∴∠BEC=∠COD，
∵BF⊥EC，
∴∠BEC=∠FBC，
∴∠FBC=∠COD，
∴BF∥OD，
∴∠BFO=∠FOD，
∴∠FPD=∠COD，
∵OF=OC，OD=OD，∴△FOD≌△COD，
∴∠DFO=∠DCO=90°，
∴DF與圓O相切；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠DFO=∠DCO=90°，
∴∠DFO+∠DCO=180°，
∴C，D，F，O四點共圓，
∴∠BOF=∠CDF，
∵DF=DC，
∴$\frac{DF}{OF}=\frac{DC}{OB}$，
∴△DCF∽△OBF．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查三角形全等的證明，考查三角形相似的證明，屬于中檔題．