Question

9．已知f（x）為二次函數，-1和3是函數y=f（x）-x-4的兩個零點，且f（0）=1
（Ⅰ） 求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ） 設g（x）=f（x）-3x-6，求y=g（log₃x）在區間$[\frac{1}{9}，27]$上的最值，并求相應x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由已知構造方程組求出a，b，c值，可得函數f（x）的解析式；
（Ⅱ） 由（I）得：g（x）=f（x）-3x-6=x²-4x-5，則y=g（log₃x）=${（lo{g}_{3}x-2）}^{2}-9$，進而可得區間$[\frac{1}{9}，27]$上函數的最值和最值點．

解答 解：（Ⅰ）由已知設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（0）=1可得c=1，
從而：y=f（x）-x-4=ax²+bx+1-x-4=ax²+（b-1）x-3
∵-1和3是函數y=f（x）-x-4的兩個零點，
∴由韋達定理可得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b-1}{a}=-1+3=2\\-\frac{3}{a}=-1×3=-3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$
故f（x）的解析式為f（x）=x²-x+1
（Ⅱ）由題設及（Ⅰ）得g（x）=（x²-x+1）-3x-6=x²-4x-5
從而：$y=g（{log_3}x）={log_3}^2x-4{log_3}x-5={（{log_3}x-2）^2}-9$∵$\frac{1}{9}≤x≤27$，
∴-2≤log₃x≤3故：當log₃x=2時，即x=9時，y_min=-9；
當log₃x=-2時，即$x=\frac{1}{9}$時，y_max=7．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．