Question

17．三次函數(shù)$f（x）=a{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+2x+1$的圖象在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，則f（x）在區(qū)間（1，3）上的最小值是（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{11}{6}$
• C． $\frac{11}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得a，再求f（x）在區(qū)間（1，3）上的最小值．

解答 解：f′（x）=3ax²-3x+2，
由圖象在（1，f（1））處的切線平行于x軸，
可得f′（1）=3a-3+2=0，
解得a=$\frac{1}{3}$，
∴f′（x）=（x-1）（x-2），
函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞減，（2，3）上單調(diào)遞增，
∴x=2時，f（x）在區(qū)間（1，3）上的最小值是$\frac{5}{3}$．
故選D．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率，考查運算能力，屬于中檔題．