Question

8．已知奇函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x（x＞0）\\ 0，（x=0）\\{x^2}+mx（x＜0）\end{array}$
（1）在給出的直角坐標系中畫出y=f（x）的圖象，并求實數m的值；
（2）若函數f（x）在區間[2a-1，a+1]上單調遞增，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當 x＜0時，-x＞0，結合f（x）為奇函數，f（-x）=-f（x），可得m值，結合二次函數的圖象，可得y=f（x）的圖象；
（2）由（1）知f（x），由圖象可知，f（x）在[-1，1]上單調遞增，要使f（x）在[2a-1，a+1]上單調遞增，只需$\left\{\begin{array}{l}a+1＞2a-1\\ a+1≤1\\ 2a-1≥-1\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）當 x＜0時，
-x＞0，f（-x）=-（x）²+2（-x）=-x²-2x
又f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x）=-x²-2x，
∴f（x）=x²+2x，
∴m=2 
  y=f（x）的圖象如圖所示：

（2）由（1）知f（x），
由圖象可知，f（x）在[-1，1]上單調遞增，
要使f（x）在[2a-1，a+1]上單調遞增，
只需$\left\{\begin{array}{l}a+1＞2a-1\\ a+1≤1\\ 2a-1≥-1\end{array}\right.$
解之得：a=0．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，數形結合思想，二次函數的圖象和性質，難度中檔．