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13.已知函數(shù)f(x)=-2sin2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1.
(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間;
(2)若x∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$],求f(x)的最大值和最小值.

分析 (1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f(x),求出f(x)的最小正周期以及單調(diào)減區(qū)間;
(2)求出x∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$]時(shí)2x+$\frac{π}{6}$的取值范圍,即可得出f(x)的最大值與最小值.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=-2sin2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin(2x+$\frac{π}{6}$);---------(2分)
∴f(x)的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π,-------------(4分)
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$
得:$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$,
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為$[\frac{π}{6}+kπ,\frac{2π}{3}+kπ],k∈z$;-----------------(6分)
(2)∵x∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$],
∴-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$,----------------(8分)
∴-$\frac{1}{2}$≤sin(2x+$\frac{π}{6}$)≤1,即-1≤f(x)≤2;------------------(10分)
∴當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$,即x=-$\frac{π}{6}$時(shí),f(x)取得最小值為-1;---------------(12分)
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$,即$x=\frac{π}{6}$時(shí),f(x)取得最大值為2.-----------------(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,是中檔題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=(2x3-1)(3x2+x);
(2)y=3(2x+1)2-4x;
(3)y=$\frac{sinxlnx}{x}$;
(4)y=extanx.

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4.已知sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,且α∈(0,π),則sin2α的值為(  )
A.-$\frac{\sqrt{15}}{4}$B.-$\frac{1}{4}$C.$\frac{\sqrt{15}}{4}$D.$\frac{1}{4}$

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1.已知三角形ABC的頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上,AB⊥BC,AB=6,BC=8,棱錐O-ABC的體積為40,則球的表面積為( 。
A.250πB.200πC.100πD.50π

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8.已知奇函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x(x>0)\\ 0,(x=0)\\{x^2}+mx(x<0)\end{array}$
(1)在給出的直角坐標(biāo)系中畫出y=f(x)的圖象,并求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2a-1,a+1]上單調(diào)遞增,試確定a的取值范圍.

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18.已知三棱錐O-ABC中,A、B、C三點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上,若AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{5}}{4}$,則球O的表面積為( 。
A.$\frac{32}{3}$πB.16πC.64πD.544π

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5.設(shè)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+1,(x>0)}\\{π,(x=0)}\\{0,(x<0)}\end{array}\right.$,則f(f(f(-1)))=( 。
A.0B.π+1C.πD.-1

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3.化3$\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}$為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪結(jié)果是(  )
A.3${\;}^{\frac{7}{8}}$B.3${\;}^{\frac{15}{8}}$C.3${\;}^{\frac{7}{4}}$D.3${\;}^{\frac{17}{8}}$

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