Question

18．已知三棱錐O-ABC中，A、B、C三點在以O為球心的球面上，若AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{5}}{4}$，則球O的表面積為（　　）

• A． $\frac{32}{3}$π
• B． 16π
• C． 64π
• D． 544π

Answer 1

分析 求出底面三角形的面積，利用三棱錐的體積求出O到底面的距離，求出底面三角形的所在平面圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求解球的體積．

解答 解：三棱錐O-ABC，A、B、C三點均在球心O的表面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，AC=$\sqrt{3}$，

∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵三棱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{5}}{4}$，△ABC的外接圓的圓心為G，∴OG⊥⊙G，
外接圓的半徑為：GA=$\frac{\sqrt{3}}{2sin120°}$=1，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×$OG=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴OG=$\sqrt{15}$，
球的半徑為：$\sqrt{15+1}$=4．
球的表面積：4π4²=64π．
故選：C．

點評 本題考查球的表面積的求法，球的內含體與三棱錐的關系，考查空間想象能力以及計算能力．