Question

19．如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若AF=BE，求二面角的E-OC-F的余弦值大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由面面垂直的性質定理，證出CB⊥平面ABEF，從而AF⊥CB．由直徑所對的圓周角是直角，得到AF⊥BF，結合線面垂直判定定理，可證出AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）利用圖形對稱性，可取EF中點為G，CD中點為H，以O為坐標原點，分別以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OG}$，$\overrightarrow{OH}$為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系O-xyz．求出O，E，F，C的坐標，進一步求出平面OEC與平面DFC的一個法向量，利用兩法向量所成角的余弦值求得二面角的E-OC-F的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，
∵CB∩BF=B，
∴AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）解：利用圖形對稱性，可取EF中點為G，CD中點為H，
以O為坐標原點，分別以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OG}$，$\overrightarrow{OH}$為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系O-xyz．
∴O（0，0，0），$E（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;0）$，$F（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;0）$，C（-1，0，1）
設平面OEC的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OE}=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OC}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得x=$\sqrt{3}$，y=1，求得平面OEC的法向量$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$，
設平面DFC的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OF}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得x=$\sqrt{3}$，y=-1，求得平面OFC的法向量$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，-1，\sqrt{3}）$，
設二面角的E-OC-F的大小為θ，則$cosθ=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{3-1+3}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\frac{5}{7}$，
∴二面角的E-OC-F的余弦值大小為$\frac{5}{7}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求二面角的平面角，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．